Математика
СТАНДАРТ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Изучение
математики
на
ступени
основного
общего
образования направлено на достижение следующих целей:








овладение системой математических знаний и умений,
необходимых для применения в практической деятельности,
изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности,
необходимых человеку для полноценной жизни в современном
обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления,
интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической
культуры, пространственных представлений, способность к
преодолению трудностей;
формирование представлений об идеях и методах математики
как универсального языка науки и техники, средства
моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как к
части общечеловеческой культуры, понимание значимости
математики для научно-технического прогресса.

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ
ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

АРИФМЕТИКА
Натуральные числа. Десятичная система счисления. Римская
нумерация. Арифметические действия над натуральными числами.
Степень с натуральным показателем.
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Простые и составные числа. Разложение натурального числа на
простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное. Деление с остатком.
Дроби. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение
дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
Нахождение части от целого и целого по его части.

Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические
действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в
виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.
Рациональные числа. Целые числа: положительные, отрицательные и
нуль. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных
чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Степень с
целым показателем.
Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок.
Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный,
распределительный.
Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей
степени. Понятие о корне n-ой степени из числа[1]. Нахождение
приближенного значения корня с помощью калькулятора. Запись
корней с помощью степени с дробным показателем.
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность
Десятичные приближения иррациональных чисел.

числа.

Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение
действительных чисел, арифметические действия над ними.
Этапы развития представления о числе.
Текстовые
способом.

задачи. Решение

текстовых

задач

арифметическим

Измерения, приближения, оценки. Единицы измерения длины,
площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов
окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной),
длительность процессов в окружающем мире.
Представление зависимости между величинами в виде формул.
Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее
проценту.
Отношение, выражение отношения в процентах. Пропорция.
Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости.
Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.
Выделение множителя – степени десяти в записи числа.
АЛГЕБРА

Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с
переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые
значения переменных, входящих в алгебраические выражения.
Подстановка выражений вместо переменных. Равенство буквенных
выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразования
выражений.
Свойства степеней с целым показателем. Многочлены. Сложение,
вычитание,
умножение
многочленов.
Формулы
сокращенного
умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб
разности. Формула разности квадратов, формула суммы кубов и
разности кубов. Разложение многочлена на множители. Квадратный
трехчлен. Выделение
полного
квадрата
в
квадратном
трехчлене.Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на
линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень
многочлена. Корень многочлена.
Алгебраическая
дробь.
алгебраическими дробями.

Сокращение

дробей.

Действия

с

Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных
корней и их применение в вычислениях.
Уравнения и неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень
уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула
корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений.
Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены
переменной, разложения на множители.
Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя
переменными. Система уравнений; решение системы. Система двух
линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и
алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными.
Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения уравнений в
целых числах.
Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные
неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные
неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств.
Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и
алгебраических неравенств.
Переход от словесной формулировки соотношений между величинами
к алгебраической.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые
последовательности. Понятие
последовательности.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых
нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.
Cложные проценты.
Числовые функции. Понятие функции. Область определения
функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и
убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную
зависимости,
их графики. Линейная
функция,
ее
график,
геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная
функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось
симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их
графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический,
модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и
систем.
Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы:
колебание, показательный рост. Числовые функции, описывающие эти
процессы.
Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия
относительно осей.
Координаты. Изображение чисел очками координатной прямой.
Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал,
отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной
прямой.
Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты
середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками
плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие
параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале
координат и в любой заданной точке.
Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их
систем, неравенств с двумя переменными и их систем.

ГЕОМЕТРИЯ
Начальные понятия и теоремы геометрии
Возникновение геометрии из практики.
Геометрические фигуры и тела. Равенство в геометрии.
Точка, прямая и плоскость.
Понятие о геометрическом месте точек.
Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная.
Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные
углы. Биссектриса угла и ее свойства.
Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность
прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.
Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и
наклонная к прямой.
Многоугольники.
Окружность и круг.
Наглядные представления о пространственных телах: кубе,
параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре.
Примеры сечений. Примеры разверток.
Треугольник. Прямоугольные,
остроугольные
и
тупоугольные
треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия
треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники;
свойства и признаки равнобедренного треугольника.
Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма
углов треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость между
величинам сторон и углов треугольника.
Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия.
Признаки подобия треугольников.
Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного
треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу.
Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое

тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс
одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры
их применения для вычисления элементов треугольника.
Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных
перпендикуляров, биссектрис, медиан. Окружность Эйлера.

Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки.
Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция,
средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.
Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого
многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные
многоугольники.
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор,
сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла.
Взаимное
расположение
прямой
и
окружности, двух
окружностей.Касательная и секущая к окружности; равенство
касательных, проведенных из одной точки. Метрические соотношения
в окружности: свойства секущих, касательных, хорд.
Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около
треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Вписанные
и описанные окружности правильного многоугольника.
Измерение геометрических величин. Длина отрезка. Длина ломаной,
периметр многоугольника.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными
прямыми. Длина окружности, число p; длина дуги. Величина угла.
Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной
дуги окружности.
Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие
фигуры.
Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и
трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь
треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и
радиус
вписанной
окружности,
формула
Герона.
Площадь
четырехугольника.

Площадь круга и площадь сектора.
Связь между площадями подобных фигур.
Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба,
шара, цилиндра и конуса.
Векторы
Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство
векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение,
разложение, скалярное произведение. Угол между векторами.
Геометрические преобразования
Примеры движений фигур. Симметрия фигур. Осевая симметрия и
параллельный перенос. Поворот и центральная симметрия. Понятие
о гомотетии. Подобие фигур.
Построения с помощью циркуля и линейки
Основные задачи на построение: деление отрезка пополам,
построение треугольника по трем сторонам, построение
перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка
на n равных частей.
Правильные многогранники.
ЭЛЕМЕНТЫ
ЛОГИКИ,
СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

КОМБИНАТОРИКИ,

Доказательство. Определения, доказательства, аксиомы и теоремы;
следствия. Необходимые и достаточные условия. Контрпример.
Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы.
Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии.
Пятый постулат Эвклида и его история.
Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества,
подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы
Эйлера.
Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило
умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц,
диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о
статистическом выводе на основе выборки.
Понятие и примеры случайных событий.
Вероятность. Частота
события,
вероятность.
Равновозможные
события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической
вероятности.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ
ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
В результате изучения математики ученик должен
знать/понимать[2]













существо понятия математического доказательства; примеры
доказательств;
существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения и
неравенства; примеры их применения для решения
математических и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать
реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
как потребности практики привели математическую науку к
необходимости расширения понятия числа;
вероятностный характер многих закономерностей окружающего
мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
каким образом геометрия возникла из практических задач
землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о
них, важных для практики;



смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной
действительности математическими методами, примеры ошибок,
возникающих при идеализации;

Арифметика
уметь












выполнять устно арифметические действия: сложение и
вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя
знаками, умножение однозначных чисел, арифметические
операции с обыкновенными дробями с однозначным
знаменателем и числителем;
переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять
десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях
обыкновенную в виде десятичной, проценты — в виде дроби и
дробь — в виде процентов; записывать большие и малые числа с
использованием целых степеней десятки;
выполнять арифметические действия с рациональными числами,
сравнивать рациональные и действительные числа; находить в
несложных случаях значения степеней с целыми показателями и
корней; находить значения числовых выражений;
округлять целые числа и десятичные дроби, находить
приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять оценку
числовых выражений;
пользоваться основными единицами длины, массы, времени,
скорости, площади, объема; выражать более крупные единицы
через более мелкие и наоборот;
решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с
отношением и с пропорциональностью величин, дробями и
процентами;

использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:




решения несложных практических расчетных задач, в том числе c
использованием при необходимости справочных материалов,
калькулятора, компьютера;
устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки
результата вычисления с использованием различных приемов;



интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений,
связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов
и явлений;

Алгебра
уметь





















составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;
осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и
выполнять соответствующие вычисления, осуществлять
подстановку одного выражения в другое; выражать из формул
одну переменную через остальные;
выполнять основные действия со степенями с целыми
показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями;
выполнять разложение многочленов на множители; выполнять
тождественные преобразования рациональных выражений;
применять свойства арифметических квадратных корней для
вычисления значений и преобразований числовых выражений,
содержащих квадратные корни;
решать линейные, квадратные уравнения и рациональные
уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений
и несложные нелинейные системы;
решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной
и их системы;
решать текстовые задачи алгебраическим методом,
интерпретировать полученный результат, проводить отбор
решений, исходя из формулировки задачи;
изображать числа точками на координатной прямой;
определять координаты точки плоскости, строить точки с
заданными координатами; изображать множество решений
линейного неравенства;
распознавать арифметические и геометрические прогрессии;
решать задачи с применением формулы общего члена и суммы
нескольких первых членов;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей,
графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по
значению функции, заданной графиком или таблицей;
определять свойства функции по ее графику; применять
графические представления при решении уравнений, систем,
неравенств;



описывать свойства изученных функций, строить их графики;

использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:








выполнения расчетов по формулам, составления формул,
выражающих зависимости между реальными величинами;
нахождения нужной формулы в справочных материалах;
моделирования практических ситуаций и исследовании
построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
описания зависимостей между физическими величинами
соответствующими формулами при исследовании несложных
практических ситуаций;
интерпретации графиков реальных зависимостей между
величинами;

Геометрия
уметь
















пользоваться языком геометрии для описания предметов
окружающего мира;
распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное
расположение;
изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по
условию задач; осуществлять преобразования фигур;
распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке
основные пространственные тела, изображать их;
в простейших случаях строить сечения и развертки
пространственных тел;
проводить операции над векторами, вычислять длину и
координаты вектора, угол между векторами;
вычислять значения геометрических величин (длин, углов,
площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180°
определять значения тригонометрических функций по заданным
значениям углов; находить значения тригонометрических функций
по значению одной из них, находить стороны, углы и площади
треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей
основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства
фигур и отношений между ними, применяя дополнительные





построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи
симметрии;
проводить доказательные рассуждения при решении задач,
используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их
использования;
решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;

использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:







описания реальных ситуаций на языке геометрии;
расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;
решения геометрических задач с использованием тригонометрии
решения практических задач, связанных с нахождением
геометрических величин (используя при необходимости
справочники и технические средства);
построений геометрическими инструментами (линейка, угольник,
циркуль, транспортир).

Элементы
логики,
статистики и теории вероятностей

комбинаторики,

уметь











проводить несложные доказательства, получать простейшие
следствия из известных или ранее полученных утверждений,
оценивать логическую правильность рассуждений, использовать
примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения
утверждений;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на
диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и
графики;
решать комбинаторные задачи путем систематического перебора
возможных вариантов, а также с использованием правила
умножения;
вычислять средние значения результатов измерений;
находить частоту события, используя собственные наблюдения и
готовые статистические данные;
находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:














выстраивания аргументации при доказательстве (в форме
монолога и диалога);
распознавания логически некорректных рассуждений;
записи математических утверждений, доказательств;
анализа реальных числовых данных, представленных в виде
диаграмм, графиков, таблиц;
решения практических задач в повседневной и профессиональной
деятельности с использованием действий с числами, процентов,
длин, площадей, объемов, времени, скорости;
решения учебных и практических задач, требующих
систематического перебора вариантов;
сравнения шансов наступления случайных событий, оценки
вероятности случайного события в практических ситуациях,
сопоставления модели с реальной ситуацией;
понимания статистических утверждений.

[1]
Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит
изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки
выпускников.
[2]
Помимо указанных в данном разделе знаний, в требования к
уровню подготовки включаются также знания, необходимые для
освоения перечисленных ниже умений.